[첫 번째 수학이야기] 경우의수 - 순열과 조합

확률과 통계 흔히 확통이라고 하죠.

확통에서 첫 번째 이야기 경우의 수 중 순열과 조합입니다.

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첫 번째, 여러 가지 순열과 중복조합

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 순열에 대해서는 고등수학에서 이미 다루었지만

간략하게 정리하고 넘어갈게요.

 

 순열이란

서로다른 n개에서 r(0<r≤n)개를 택하여

일렬로 나열하는 것을

n개에서 r개를 택하는 순열이라고 하죠.

 

이렇게 표현하기도 하죠.

 

확통에서는 여러가지 순열에 대해서 배우는데,

첫 번째 순열은 원순열입니다.

 

말그대로 일렬로 배열하는 것이 아닌

원으로 배열하는 것입니다.

 

 

 

위 사진과 같이 A, B, C, D를 배치시키는데

원형 탁자에 배열 시킨다면

위 네가지 경우가 똑같은 경우라고 할 수 있어요

항상 A의 좌우측에는 B와 D가 배치되어 있고,

B,C,D 좌우측에도 변화가 없죠.

그렇기에 4가지 경우는 같은 경우라고 합니다.

 

그럼 우리가 처음 배웠던 순열로 보면

4명을 일렬로 세우는 방법의 수는 4! 이지만

원형탁자에 배열 한다면 서로 같은 경우가 4가지씩 있으므로

 

 이 된다는 것을 알 수 있습니다.

 

 

 

확장해서 서로 다른 n개를 원형탁자에 배열한다고 하면

원순열의 수는

이렇게 된다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

 

그럼 간단한 예제를 통해 학습하고 넘어갈게요.

 

Q1. 원형 탁자에 A, B, C, D, E가 둘러 앉을 때 다음을 구하시오.

(1) 6명이 앉는 모든 경우의 수

(2) A, B가 이웃하여 앉는 모든 경우의 수

(3) D, E가 마주 보고 앉는 모든 경우의 수

 

두 번째 순열은 중복순열입니다.

 

중복순열이란

서로 다른 n개에서 중복을 허용하여

r개를 택하여 일렬로 배열하는 것을

n개에서 r개를 택하는 중복순열이라 합니다.

 

중복순열은 위와 같이 표현하는데,

중복을 허용하기 때문에

첫 번째 자리에 올 수 있는 경우의 수도 n,

두 번째 자리에 올 수 있는 경우의 수도 n,

계속해서 r번째 자리에 올 수 있는 경우의 수 또한 n개입니다.

 

Q2. 비밀번호를 만들 때 0부터 9까지의 번호를 사용할 수 있으며,

    비밀번호는 총 5개의 숫자로 이루어져 있다.

    만들 수 있는 비밀번호의 개수를 구하시오.

 

세 번째 순열은 중복순열이라고도 하는데,

같은 것이 있는 순열의 수를 구하는 경우입니다.

 

이 경우는 예를 들어서 설명을 하겠습니다.

만약 파란색 카드 2장과 빨간색 카드 3장이 있는데,

이 카드 5장을 일렬로 줄 세우는 방법은 당연히

5!이 됩니다.

 

하지만 같은 색끼리 카드는 구별이 불가능 하다면?

파란색 카드 2장끼리 순서가 바뀌는 경우 2!과

빨간색 카드 3장끼리 순서가 바뀌는 경우 3!만큼

나누어 주게되면 그 답을 쉽게 구할 수 있겠죠?

 

정리하자면 

이렇게 정리할 수 있습니다.

 

 

Q3. 지점 P에서 Q로가는 최단 경로의 수를 구하시오.

 

 

 

 

 

 

 

 순열은 여기까지 마무리하고

다음은 중복조합과 관련된 내용입니다.

 

중복조합을 배우기에 앞서

이전에 배웠던 조합에 대해 간단히 정리하고

중복조합을 설명드리겠습니다.

 

조합이란

서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고

r(0<r≤n)개를 택하는 것을 

n개에서 r개를 택하는 조합이라고 합니다.

 

예를 들자면

카드에 1, 2, 3, 4가 적힌 카드가 있다면

여기서 3장의 카드를 뽑는 경우의 수는

 

 

위와 같이 표현할 수 있고,

일반적인 식은 아래와 같다.

 

 

 

중복조합이란

일반적으로 서로 다른 n개에서 중복을 허용하여

r개를 택하는 조합을 중복조합이라고 합니다.

 

즉, A, B가 있을 때 A와 B를 중복을 허용하여

3개를 택하는 경우는

AAA AAB ABB BBB 4가지 경우입니다.

 

이것을 일반화하여 조합과 중복조합을 비교한다면,

 

 

위와 같은 식이 나옵니다.

 

중복조합을 풀때는 중복순열과 혼동되지 않게 주의하고,

중복을 하용하고 뽑을 때 순서가 있는지 없는지 판단만하면,

순열과 조합이 혼동되는 일이 없을거에요.

 

 

 

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두 번째, 이항정리

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이항정리란

다항식의 거듭제곱을 전개하는데

조합을 사용하여 정리한 것입니다.

 

이런 글로 설명하는 것보다 예시를 들어가면서 

설명하는 것이 더 이해하기 좋겠죠?

 

위와 같은 식이 있을때 

 

 

 위와 같이 표현할 수 있고,

만약 b를 뽑는 것을 1이라고 한다면

가장 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있습니다.

 

이항정리를 일반화 한다면 아래와 같습니다.

 

 

 

참고로 조합으로 표현되어 있는 각 계수를

이항계수라고 말합니다.

 

위와 같은 이항계수는 독특한 성질이 있는데,

이항계수를 삼각형으로 배치하였을 때

아래와 같은 규칙을 가집니다.

 

 

 

위와 같이 삼각형의 모형을 하고있어

파스칼의 삼각형이라고 불립니다.

 

 

 

 확률과 통계 첫 번째 이야기 경우의 수는 여기까지입니다.