[두 번째 수학 이야기] 확률 - 확률의 뜻과 활용

안녕하세요. 수이남입니다.

오늘은 확통 두 번째 이야기 확률에 관한 내용입니다! 

 

우리는 살면서 확률이라는 것을 많이 듣고 살아왔죠?

일기 예보만 보아도 비가 올 확률이 적혀 있듯이

일상생활에서 흔히 찾아볼 수 있는 것이 확률입니다.

이러한 확률을 수학적으로 해석하고,

어떠한 일이 발생활 확률을 구할 수 있도록

확률에 대한 개념을 이해해보도록 해요.

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첫 번째, 확률의 뜻

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첫 번째, 시행과 사건은 무엇일까?

 

먼저 그럼 확률이라는 것이 무엇인지 배우기 전에

확률을 표현하기 위해 사용되는 단어를 정리해볼게요.

 

시행이란?

결과가 우연에 의해 결정되고

같은 조건에서 여러 차례 반복할 수 있는

실험이나 관찰을 뜻합니다.

 

예를 들자면 축구 시합 전에 동전을 던져 선, 후공을 정하죠?

동전을 던지는 행위도 시행이라고 할 수 있습니다.

보드게임을 하시면 주사위를 던져서 하는 게임도 있죠?

이렇게 주사위를 던지는 것도 시행이라고 할 수 있습니다.

 

그리고 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을

"표본 공간"이라고 하며,

표본 공간의 부분집합을 "사건"이라고 합니다.

 

위의 예시 중 하나인 주사위로 간단하게 표현해 볼게요.

주사위는 보통 1~6까지의 숫자가 있죠?

표본 공간은 보통 대문자 S를 쓰며

S={1, 2, 3, 4, 5, 6} 이렇게 표현합니다.

 

그리고 주사위의 눈이 3보다 작다라는 조건이 있으면

3보다 작은 것은 사건이 되고,

사건을 A로 둔다면, A={1, 2}가 됩니다.

 

표본 공간 S에서 두 사건, A, B가 일어날 때

 

A 또는 B가 일어나는 사건은 A ∪ B

 

A와 B가 동시에 일어나는 사건을 A ∩ B

 

A, B가 동시에 일어나지 않을 때,

즉, A ∩ B 가 공집합 일 때 두 사건은 배반 사건이라고 합니다.

 

사건 A에 대하여 A가 일어나지 않는 것은

A의 여사건이라고 합니다.

 

벤다이어그램으로 표현해 보겠습니다.

 

 

 

두 번째, 수확적 확률 이란? 

 

이제 확률을 표현하기 위한 단어들을 배웠으니

확률을 수학적으로 표현해 볼게요.

 

앞서 예시를 든 것처럼 간단하게 동전으로 예를 들어볼게요.

동전은 앞면과 뒷면이 있죠?

그럼 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률은 당연히 1/2 겠죠?

 

그런데 이 동전이 구부러 지거나 또는 윷 같은 경우는

앞면과 뒷면의 생김새가 달라지므로

확률이 1/2이 아니게 됩니다.

 

이렇게 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률을 1/2이라는 것은

아래와 같이 표현합니다.

 

"어떤 시행에서 사건 A가 일어날 확률은 기호로 P(A)"

 

그럼 수학적 확률을 정리해보자면

 

어떤 시행의 표본 공간 S가 유한개의 근원사건으로 이루어져 있고,

각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때,

사건 A가 일어날 수학적 확률은

 

n(A) : 사건 A의 원소의 개수

n(S) : 표본 공간 S의 원소의 개수

근원사건 : 시행을 1회 했을 때 나오는 결과

 

로 정리할 수 있습니다.

 

기호가 생소하고, 말이 생소할 수 있어서

동전으로 예를 들어 보자면

n(S)는 앞면과 뒷면이 있으므로 n(S)=2이고,

앞면이 나와야 한다면 사건의 개수는 앞면 한 개 이므로,

n(A)=1이 되겠죠?

그렇기 때문에 동전의 앞면이 나올 확률은 1/2가 되는 것입니다.

 

수학적 확률은 여기까지 하고,

수학적 확률과는 조금 다른 통계적 확률을 알아볼게요.

 

 

세 번째, 통계적 확률

 

앞서 수확적 확률은 어떤 시행에서

각 근원사건이 일어날 가능성이

모두 같다는 가정에서 정의하였습니다.

 

위에서 언급했지만 윷은 앞면과 뒷면의 모양이 달라서

앞면이 나올 가능성과 뒷면이 나올 가능성이

같지 않다고 했죠?

 

이런 경우에는 여러 번의 시행하여 얻은

상대 도수로 그 사건이 일어날 확률을 구할 수 있습니다.

(상대 도수 = 사건이 일어난 횟수 / 시행 횟수)

 

즉, 통계적 확률이란

위와 같이 정리할 수 있습니다.

 

윷으로 다시 한번 예를 들어보자면

윷을 1,000번 던졌을 때 둥근면이 위를 향하는 경우가 298번 나왔고

10,000번 던졌을 때 둥근면이 3,123번 나왔고,

100,000번 던졌을 때 둥근면이 28,982번 나왔다면

윷을 한없이 던지다 보면 아마 둥근면이 나올 확률은

점점 30%에 가까워진다는 것을 알 수 있겠죠?

 

수학적 확률과 통계적 확률은 이렇게 정리하고

이제는 확률의 기본 성질에 대해서 알아보겠습니다.

 

네 번째, 확률의 기본 성질

 

먼저 확률의 기본 성질 3가지를 소개할게요

위 세 가지가 확률의 기본 성질입니다.

 

첫 번째부터 증명해보자면

 

두 번째 정리에 대한 증명입니다.

 

마지막 세 번째 정리에 대한 증명입니다.

증명과정은 한번 눈으로 보시기만 하고

확률의 기본 성질 3가지만 눈여겨보시면 될 것 같습니다.

 

 

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두 번째, 확률의 덧셈 정리

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이제 수학적 확률과 통계적 확률의 차이도 배웠고

확률의 성질에 대해 배웠으니

확률에 관련된 문제를 푸는 법도 알아야겠죠?

 

첫 번째, 확률의 덧셈 정리란? 

 

우선 결론부터 말씀드리자면

위와 같이 정리할 수 있습니다.

 

그럼 간략한 증명과정을 보여드릴게요.

 

우선 표본 공간 S의 두 사건 A, B의 경우의 수를

각각 n(A), n(B)라고 한다면

이렇게 나타낼 수 있겠죠? 

위 식을 n(S)로 나누면

이렇게 확률의 덧셈 정리의 첫 번째를 증명할 수 있습니다.

 

그리고 A, B가 배반 사건이라면

A와 B의 교집합이 없기 때문에 당연히

P(AUB) = P(A)+P(B)로 표현이 되겠죠?

 

 

두 번째, 여사건의 확률이란?

 

여사건의 확률 문제를 풀면서

꽤나 많이 활용되는 개념입니다.

 

여사건의 확률 또한 결론부터 확인해보죠

여사건의 확률은 따로 증명을 하지 않아도

예를 들어본다면

주사위의 눈이 3보다 작을 확률은

전체 표본 공간의 개수 n(S)=6이고

3보다 작을 사건의 개수 n(A)=2 겠죠?

(A={1, 2}입니다.)

 

그렇다면 3보다 작은 것의 반대인

3보다 크거나 같은 것의 확률을 구해본다면

표본 공간의 개수는 변함이 없을 것이고,

3보다 크거나 같은 것의 사건을 B라고 두면

n(B)=4 가 되겠죠? (B={3, 4, 5, 6})

 

그럼 당연히 B의 사건은 A가 아닌 모든 사건을 뜻하므로

그럼 A의 확률은 1/3이고

B의 확률은 2/3가 되는데

B의 확률을 따로 구하기보다는

P(B)=1-P(A)를 통해 구할 수 있겠죠? 

 

 

 

 

오늘 확률의 뜻과 활용 부분은

아무래도 확률에 관한 문제를 해결할 때

문제를 이해하는 것이 가장 중요하다고 생각되어

글로 설명하는 부분이 많았습니다..

 

아마 글이 너무 많고 두서도 없는 글이라

가독성이 많이 떨어질 거라 생각이 드는데..

더 쉽게 설명할 방법이 도저히 떠오르지 않더라고요..

 

그래도 최대한 어려운 단어들은 뜻을 설명해가면서

그리고 예시를 많이 이용하여 설명하려고 했습니다.

확률이라는 것이 일상생활에서 많이 쓰이긴 하지만

그것을 구하기 위해 많은 과정이 필요하기 때문에

기본적인 성질과 개념을 바로 잡으신다면

충분히 어려운 확률 문제도 해결할 수 있을 거라 생각합니다.

 

그리고 바로 위에서도 언급했지만

문제를 풀이할 때 문제를 이해하는 것이 첫 번째인 만큼

어려운 단어가 있더라고 그 뜻을 정확히 알고 넘어가야 합니다.

나중에 말이 어려워서 문제를 못 푸는 경우는 없어야겠죠?

 

수이남이었습니다.

감사합니다.