[세 번째 이야기] 확률 - 조건부확률

 

 

안녕하세요. 수이남입니다.

오늘은 확통 세 번째 이야기

조건부 확률입니다.

 

확률 파트에서 문제가 많이

출제되는 단원이기도 하죠.

 

문제만 주의 깊게 읽어서

어떤 경우의 확률인지만 잘 파악한다면

확률의 문제는 쉽게 해결할 수 있습니다.

 

하지만 문제를 잘 읽고 해결하는데

기본 개념과 원리가 없으면 안 되겠죠?

 

그럼 오늘 조건부 확률 시작하겠습니다 ! 

 

---

첫 번째, 조건부확률

---

본 내용으로 들어가기 전에

두 번째 이야기인 확률에 대해서

간단히 리뷰 먼저 하겠습니다.

 

앞서 확률을 정의하기 앞서

표본 공간과 사건에 대해서 정의해두었습니다.

 

표본 공간이란

어떤 시행에 의해 나타날 수 있는 모든 결과를 의미하고,

사건이란

표본 공간의 부분집합이라고도 말할 수 있습니다.

 

그리고 확률은

사건의 원소의 개수와 표본공간의 원소의 개수를

나누어서 구할 수 있었습니다.

P(A)=n(A)/n(S) (S=표본 공간, A=표본 공간 S의 사건)

 

그럼 이제 본 내용으로 들어가 볼게요.

 

첫 번째, 조건부 확률이란?

조건부 확률을 정의하자면 아래와 같습니다.

 

일반적으로 표본 공간 S의 두 사건 A, B에 대하여

사건 A가 일어났다는 조건 아래에서

사건 B가 일어날 확률을

사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조건부 확률이라고 합니다.

 

기호로는 P(B|A)와 같이 나타낼 수 있고

수식으로 적어보자면 아래와 같습니다.

 

 

수식이 왜 이렇게 나타나는지 궁금하신 분들을 위해서

쉽게 벤다이어그램을 이용하여 나타내 보겠습니다.

 

 

 

우선 초록색은

A가 일어난다는 조건이 있으므로

사건 A가 전체의 사건이 되겠죠?

 

다음으로 주황색은

A가 일어나고 B가 일어난다는 것은

A∩B가 됩니다.

 

그럼 확률의 정의에 의해

(일어난 사건의 수)/(전체 사건의 수) 이므로

위와 같은 식이 나타나게 됩니다.

 

두 번째, 확률의 곱셈 정리

 

두 번째로 알아볼 것은 확률의 곱셈 정리입니다.

조건부 확률의 식을 간단하게 변경한 것인데요.

아래와 같습니다.

 

 

 

즉 확률의 곱셈 정리란

두 사건이 모두 일어날 확률 P(A∩B)는

A가 일어날 확률 P(A)와 

A가 일어나고 B가 일어날 확률인 P(B|A)의 곱과 같다

라는 것입니다.

(즉, 확률 A와 B가 동시에 일어날 확률을 구하는 것입니다.)

 

문제에서 어떠한 사건이 일어나고

다른 사건이 일어날 확률을 묻는다면

조건부 확률을 이용하여 구할 수 있겠죠?

 

그리고 곱셈 정리와 조건부 확률이

다른 것이 아니라 단순히 이항을 하여

식을 정리한 것이니 

하나로 받아들이시는 게 좋을 것 같습니다.

 

---

두 번째, 사건의 독립과 종속

---

첫 번째, 사건의 독립과 종속이란

 

말을 좀 어렵게 해서 독립과 종속이라고 표현한 것이지

이것 또한 어려운 내용은 아닙니다.

 

우선 수식으로 나타내 보자면

두 사건 A, B에 대하여 P(B|A)=P(B)또는 

P(A|B)=P(A)라면 두 사건은 독립이라고 하고

독립의 반대가 종속이므로

위의 식을 만족하지 못할 때 종속이라고 합니다.

 

즉 쉽게 말하면 A가 일어나고 B가 일어나야 하는 확률이

그냥 B가 일어날 확률과 같다면

A의 영향을 받지 않았기 때문에 B는 독립적이다 라고

말할 수 있습니다.

 

반대인 경우도 동일하겠죠?

 

예를 들어보자면

안이 보이지 않는 박스 안에

검은색 공과 흰색 공이 각각 3개, 4개씩 들어있다고 합시다.

그리고 공은 뽑은 후에 다시 상자에 넣어둔다고 하면

 

A가 흰 공을 뽑은 후 B가 다시 흰공을 뽑을 확률은

P(B|A)=4/7이고,

P(B|A) = P(A∩B) / P(A)에 각 확률을 대입하면 값이 나옵니다.)

 

B가 흰 공을 뽑을 확률은

P(B) = 4/7이죠?

그럼 위의 경우는 독립이라고 볼 수 있습니다.

 

또 다른 예로

주사위를 두 번 던질 때, 두 번째에 6이 나올 확률이나

그냥 첫 번째에 6이 나올 확률이나

위의 조건부 확률을 이용하면

당연히 동일한 확률이 나오게 됩니다.

 

음.. 그냥 단순히 주사위를 던지는 것은

첫 번째에 1이 나왔다고

두 번째에 1이 나올 확률이 줄어드는 것도 아니고

늘어나는 것도 아니니깐 독립적입니다! 

쉽게 생각하시면 이해하실 거라고 생각합니다.

 

두 사건 A, B에 대하여 P(B|A)=P(B)또는

P(A|B)=P(A)라면 두 사건은 독립이라고 하는데,

이것을 매번 비교할 수 없으니

두 사건이 독립이기 위한 필요충분조건을 정리해보면

 

P(A)>0, P(B)>0이고,

사건 A와 사건 B가 서로 독립이면 P(B|A)=P(B)이므로

확률의 곱셈 정리에 의해서

P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)가 됩니다.

즉, P(A∩B)=P(A) P(B)가 됩니다.

 

반대로

P(B|A)= P(A∩B) / P(A) = P(A)P(B) / P(A) = P(B)가 되므로

P(B|A)=P(B)가 되므로 A, B는 독립입니다.

 

정리하자면

두 사건 A, B가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은

P(A∩B) = P(A) P(B) (단, P(A), P(B) > 0)입니다.

 

또한 A, B가 독립이면

A와 B여사건, A여사건과 B, A여사건과 B여사건 또한

서로 독립입니다.

 

두 번째, 독립 시행의 확률

앞에서 독립에 대해서 알아봤으니

이런 독립적인 시행을 했을 때

확률을 구할 수 있어야겠죠?

 

참고로 독립 시행이란

당연히 시행에서 일어난 사건이

서로 독립적인 시행을 말합니다.

 

우선 결론부터 말씀드리자면

어떤 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p(0 < p < 1) 일 때,

이 시행을 n번 반복하는 독립 시행에서

사건 A가 r번 일어날 확률은 아래와 같습니다.

 

 

 

 

이렇게 수식으로만 보면 어려워 보이시죠?

 

간단하게 설명해 보자면

위에서 예로 들었던 주사위로 보자면

1이 나올 확률은 1/6이겠죠?

 

그럼 1이 나오지 않을 확률은?

당연히 1-1/6=5/6이라고 알 수 있습니다.

 

그럼 주사위를 세 번 던져서

1이 두 번 나올 확률을 구하는 방법은

 

첫 번째	두 번째	세 번째
1	1	x
1	x	1
x	1	1

 

이렇게 총 3가지 경우가 나오겠죠? 

이 경우는 조합을 이용하여

3C2로 나타낼 수 있고,

 

1이 나올 확률은 1/6이므로

1이 두 번 나오니깐 1/6을 두번 곱하면 되겠죠?

그리고 1이 나오지 않을 확률이 5/6이니깐 

5/6은 한번 곱해집니다.

 

그럼 최종적으로 

3C2 * (1/6)^2 * 5/6 이 되는 거죠.

 

위와 같은 확률을 구하기 위해서는

시행이 꼭 독립 시행이어야 한다는 것을

잊지 마세요! 

 

확률은 문제를 많이 접하시고

어떤 문제가 조건부 확률인지

어떤 문제가 독립 시행인지를 

문제에서 파악하시다 보면

감이 올 겁니다.

 

확률은 정답률을 올리는 방법은

문제를 잘 읽고 푸시는 방법밖에 없어요.

어떤 경우에 어떻게 해결하시는지

잘 정리하신 후에 문제만 잘 파악하시면

확률은 쉽게 해결할 수 있을 거예요.

 

오늘도 긴 글 읽어 주셔서 감사합니다!