[네 번째 이야기] 미분 - 도함수의 활용(1)

 

안녕하세요. 수이남입니다.

오늘은 수학 2에서 미분의 두 번째 이야기인

네 번째 이야기 도함수의 활용입니다.

 

미분에서 도함수라는 것은

곱셈을 배우기 전 덧셈과도 같은 존재이니

정확한 정의를 기억해 두시는 게

좋을 것 같습니다.

 

도함수라는 것이 무엇인지는 

수학 2 세 번째 이야기에서

자세히 다루었으니

한번씩 참고해 주시면 좋을 것 같습니다.

 

그럼 도함수의 활용 바로 시작할게요! 

 

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첫 번째, 접선의 방정식

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앞서 미분계수라는 것이

어떠한 점에서의 기울기라고 말씀드렸죠?

 

그리고 도함수라는 것은 그 미분계수들이

모여 만든 새로운 함수라는 것도 기억나실 거라고

생각합니다.

 

그렇다면 어떠한 함수를 어떤 점에서

미분했을 때 기울기라면

그 기울기를 이용하여 일차함수

즉, 어떠한 직선의 방정식을 찾을 수 있겠죠?

 

직선은 기울기를 안다면 지나는 점 한 개만 더 안다면

구할 수 있습니다.

 

 

그런데 이미 우리는 미분계수를 구하면서

x=a라는 점에서 기울기를 구했다면

그 점을 지나는 직선의 기울기가

f'(a)라는 것을 알고 있죠?

 

그리고 지나는 점은 결국은 (a, f(a))라는 것도

알 수 있습니다.

 

그렇다면 직선의 방정식을 구하는 조건은 모두

만족시켰습니다.

 

그래서 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서 접하는 접선의 방정식은

아래와 같습니다.

(여기서는 그 점을 접하는 직선이라고 하여

접선의 방정식이라는 표현을 사용했습니다.)

 

일차함수를 구하는 방법과 동일하죠?

 

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두 번째, 평균값 정리

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첫 번째, 롤의 정리

 

일반적으로 롤의 정리라는 것이 성립하는데

이 롤의 정리가 무엇인지 알아보겠습니다.

 

함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고

열린구간 (a, b)에서 미분 가능할 때,

f(a) = f(b)이면

f'(c)=0인 c가 열린구간 (a, b)에서 적어도 하나 존재한다.

 

위의 정리가 롤의 정리입니다.

 

그럼 롤의 정리가 어떻게 만족이 되는지도

한번 살펴보겠습니다.

 

롤의 정리를 만족시키기 위해

두 가지 경우로 나누어서 생각해 보겠습니다.

첫 번째 경우는 y=f(x)가 상수 함수일 때입니다.

즉, y=n (단, n는 상수)인 경우를 살펴보시면

아래와 같습니다.

상수 함수니깐 당연히 기울기는 0이 되겠죠?

 

두 번째 경우는 y=f(x)가 상수 함수가 아닌 경우입니다.

일반적으로 아래와 같은 함수를 그리며

f(a)=f(b)이므로 함수 f(x)가 최댓값 또는 최솟값을 갖는

어떤 c가 열린구간 (a, b)에 존재합니다.

위의 그래프처럼 만약 x=c에서 최댓값을 갖는다면

a < c+h < b인 임의의 h에 대하여

f(c+h) - f(c) <0 이므로

이고, 함수 f(x)는 x=c에서 미분 가능하므로

우극한과 좌극한의 값이 같습니다.

 

따라서

위 식을 만족합니다.

 

x=c에서 최솟값 f(c)를 가질 때도 마찬가지로

증명할 수 있겠죠?

 

두 번째, 평균값 정리

 

평균값 정리는 롤의 정리를 확장한

개념 정도로 생각하시면 됩니다.

 

평균값 정리는 아래와 같습니다.

 

함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고

열린 구간 (a, b)에서 미분 가능하면

인 c가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.

 

위의 그래프에서 

y=f(x)의 두 점 (a, f(a)), (b, f(b))를 지나는

직선의 방정식을 y=g(x)라고 하면

입니다.

 

이때, 함수 h(x)=f(x) - g(x)라고 하면 

h(x)는 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고

열린구간 (a, b)에서 미분 가능하며

h(a)=h(b)=0입니다.

 

따라서 롤의 정리를 적용하면

아래와 같습니다.

인 c가 열린구간 (a, b)에서 적어도 하나 존재합니다.

 

위의 식에서 f'(c)만 우변으로 넘겨주면

이것을 만족하게 됩니다.

 

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세 번째, 함수의 증가와 감소, 극대와 극소

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첫 번째, 함수의 증가 및 감소

 

함수가 증가한다, 감소한다 라는 이야기는

x값이 증가할수록 y의 값이 증가하면 증가한다라고 하고

x값이 증가할 수록 y의 값이 감소하면 감소한다 라고 합니다.

 

각각을 증가함수, 감소 함수라고 한다는 것도

기억해 두세요.

 

그럼 간단한 그래프와 함께 살펴보자면

아래와 같습니다.

 

빨간색의 그래프는 x값이 증가할수록

y의 값이 증가하는 것이 보이죠?

 

파란색의 그래프는 x값이 증가할수록

y의 값이 감소한다는 것을 확인할 수 있습니다.

 

이러한 함수에서 미분 가능할때 도함수를 살펴보면

 

빨간색 그래프인 y=f(x)에서는

열린구간 (a, b)에서 도함수 f'(x) > 0을 만족합니다.

 

파란색 그래프인 y=g(x)에서는

열린구간 (a, b)에서 도함수 g'(x) < 0을 만족합니다.

 

정리해보면

y=f(x)가 어떤 열린구간에서 미분가능 할 때

그 구간의 모든 x에 대하여 f'(x) > 0이면 f(x)는 그 구간에서 증가

그 구간의 모든 x에 대하여 f'(x) < 0이면 f(x)는 그 구간에서 감소

 

두 번째, 함수의 극대와 극소

 

증가, 함수는 위에서 간단히 살펴볼 수 있었습니다.

 

이번에는 함수의 극대와 극소에 대해서

알아볼 건데요.

 

쉽게 말해 x=a에서 위로 볼록한 모양의 꼭짓점이 오면

극대라고 하고,

x=a에서 아래로 볼록한 모양의 꼭짓점이 오면

극소라고 합니다.

 

그럼 수학적으로 정확하게 알아보죠

 

y=f(x)가 x=a를 포함하는 어떤 열린구간에서

모든 x에 대하여 f(x) ≤ f(a)이면

함수 f(x)는 x=a에서 극대가 된다고 하고,

f(a)를 극댓값이라고 합니다.

 

y=f(x)가 x=b를 포함하는 어떤 열린구간에서

모든 x에 대하여 f(x) ≥ f(b)이면

함수 f(x)는 x=b에서 극소가 된다고 하고,

f(b)를 극솟값이라고 합니다.

 

위에서 극대와 극소를 볼록한 부분의 꼭짓점이라고

말씀드렸죠?

그렇다면 극대 또는 극소를 가지는 x=a에서 

y=f(x)를 미분하면 f'(a)=0이 됩니다.

 

 

간단한 개념이지만 

꼭 알고 있어야 하는 개념이니

간단하게라도 암기 해 두시는 것을

추천해 드립니다.

 

그리고 위의 그래프에서

초록색으로 표현해둔 

접선들이 보이시죠?

각 점에서의 미분계수인데,

 

도함수의 개념을 도입하여

다시 한번 정리하자면

 

미분 가능한 함수 f(x)에 대하여 f'(a)=0일 때 

x=a의 좌우에서

f'(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 f(x)는 

x=a에서 극대이고, 극댓값 f(a)를 갖는다.

f'(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 f(x)는

x=a에서 극소이고, 극솟값 f(a)를 갖는다.

 

오늘 도함수의 활용은 여기까지이며

다음 이야기에서 도함수의 활용을

끝내도록 하겠습니다.

 

 

오늘도 찾아와 주셔서 감사합니다.