[세 번째 이야기] 미분 - 미분계수와 도함수

 

안녕하세요. 수이남입니다.

오늘은 수학 2의 세 번째 이야기 미분계수와 도함수입니다.

 

나중에 미분을 하기 위한 기초가 되니

충분히 학습해 두셔야 나중에

미분에서 어려움 없이 진도를 나갈 수 있습니다.

 

그럼 시작하겠습니다.

 

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첫 번째, 미분계수

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미분계수를 말하기 전에

변화율에 대해서 먼저 알아볼게요.

 

첫 번째, 평균 변화율

변화율이라는 것은 말 그대로

얼마큼 변화하는지 비율로 나타낸 것인데요.

 

그럼 미분에서 사용될 평균 변화율에 대해서

알아보겠습니다.

 

우선 평균 변화율을 정의하기 전에

"증분"이라는 단어부터 정의할게요.

 

증분이라는 것은

어떠한 값의 변화량을 의미합니다.

 

즉 x의 변화량은 x의 증분,

y의 변화량은 y의 증분이라고 하죠.

 

이 증분은 기호로 delta(Δ)를 사용하는데

보통 어떠한 값의 차를 말할 때 많이 사용되는 기호예요.

 

그래프로 본다면 아래와 같습니다.

 

정리해 보자면

x의 증분 : Δx = b - a

y의 증분 : Δy = f(b) - f(a)

입니다.

 

그럼 이제 증분을 알았으니,

평균 변화율에 대한 정의를 살펴볼게요.

 

평균 변화율이란

x의 증분에 대한 y의 증분의 비율입니다.

 

즉, 

이렇게 표현할 수 있습니다.

 

또한 평균 변화율의 정의가

x의 증분에 대한 y의 증분의 비율인데,

이것은 일차함수에서 본 적이 있을 겁니다.

바로 일차함수의 기울기를 의미합니다! 

 

그럼 평균 변화율은 다른 말로

(a, f(a))와 (b, f(b))를 지나는 직선의 기울기라고도

말할 수 있습니다.

 

위에서 b=a+Δx로 표현한 것은

b라는 점을 a에서 Δx만큼 더 간 점이라고 표현한 것입니다.

 

 

두 번째, 미분계수

그럼 이제 평균 변화율이라는 것이

무엇인지 알았으니

미분계수에 대해서 알아보겠습니다.

 

위에서 설명한 평균 변화율의 정의에서

Δx를 0에 한없이 가깝게 보낼 때,

y=f(x)의 극한값이 존재한다면 x=a에서 "미분 가능"하다고 합니다.

이때 극한값을 함수 y=f(x)의 x=a에서 순간 변화율 또는 미분계수라고 합니다.

 

수식으로 정리하면 위와 같습니다.

 

그리고 y=f(x)는 x=a에서 미분계수는

f'(a)라고도 적을 수 있으며

f prime a라고 읽습니다.

 

정리하자면 아래와 같습니다.

세 번째, 미분계수의 기하적 의미

위의 미분계수를 수식으로는 굉장히

복잡해 보일 수 있지만

그래프로 표현해보면 간단합니다.

 

 

위와 같이 그래프로 나타낼 수 있으며

쉽게 말해

함수 f(x)의 x=a에서 미분계수 f'(a)는 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서

접하는 접선의 기울기를 의미합니다.

 

네 번째, 미분가능성과 연속성

미분가능성과 연속성의 관계를 결론부터 말하자면

함수 f(x)가 x=a에서 미분 가능하면 f(x)는 x=a에서 연속입니다.

 

왜 이런 결과가 나왔는지

간단한 증명과정을 통해 알아보겠습니다.

 

극한의 성질을 이용하여 위와 같이 증명할 수 있습니다.

 

굳이 증명과정은 기억할 필요는 없고,

한번 따라 해 보시고 

어떠한 함수가 미분 가능하면 연속이다! 

라고만 정리 해 두시면 될 것 같습니다.

 

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두 번째, 도함수

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첫 번째, 도함수란?

자, 앞서 미분계수에 대해서 배워보았습니다.

미분계수란 어떠한 함수 y=f(x)에 대해서

x=a에서 미분 가능하다면 

f'(a)를 미분계수라고 정의했습니다.

 

 

그럼 이 미분계수가 함수처럼 나타나 있다면?

그것을 바로 도함수라고 합니다.

즉, 미분계수와 도함수의 차이는

함수의 형태를 하고 있느냐 없느냐의 차이입니다.

개념적으로는 동일하다고 생각하셔도 괜찮습니다.

 

조금 더 수학적으로 설명드리자면

함수 f(x)가 정의역 X에서 미분 가능할 때,

정의역의 각 원소 x에 미분계수 f'(x)를 대응시키는

새로운 함수를 뜻합니다.

이때, f'(x)를 함수 f(x)의 도함수라고 합니다.

기호로는 위와 같이 표현할 수 있는데

dy/dx는 y를 x에 대하여 미분하라 라는 기호입니다.

 

 

무슨 말인지 이해하기 어려우실 거라고 생각됩니다..

쉽게 말해 f(x)에서 x의 임의의 값에 대해 미분 가능한데,

그 x의 값에 대해 대응되는 미분 값을

모아둔 함수라고 생각하시면 되겠습니다.

 

위의 도함수의 정의에서 Δx를 h로 쓰기도 합니다.

 

두 번째, 도함수를 구하는 방법

도함수를 구하는 방법은 증명과정보다는

결과가 너무 중요하기 때문에

결과만 보고 넘어가겠습니다.

 

 

위의 결과를 잘 정리해 두시기 바랍니다.

앞으로 다양한 함수들의 도함수를 배워나갈 예정입니다.

 

세 번째, 함수의 실수 배, 합, 차, 곱의 미분

 

함수의 실수 배에 대한 미분법입니다.

 

함수의 합과 차에 대한 미분법입니다.

 

함수의 곱에 대한 미분법입니다.

정리해보자면

 

오늘 수학 2의 세 번째 이야기

미분계수와 도함수입니다.

 

중요한 부분이니

잘 정리하시면 좋겠습니다.

 

긴 글 읽어 주셔서 감사합니다.