[두 번째 수학이야기] 함수의 극한과 연속 - 함수의 연속

안녕하세요. 수이남입니다.

오늘은 수학 2의 두 번째 이야기 함수의 연속입니다.

 

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첫 번째, 함수의 연속

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첫 번째로 함수의 연속에 대해서 알아보겠습니다.

 

함수의 연속이란

함수가 어떠한 부분에서 끊어져 있지 않고,

연속해서 정의되어 있는 함수를 뜻하는 것입니다.

 

그럼 함수가 연속인지 또는 불연속인지

어떻게 구분할 수 있을까요?

 

여기서 함수의 극한의 개념과

함수의 기본적인 개념이 같이 녹여져 있는데요.

바로 함수의 어떠한 지점에서의 극한값과

그 지점에 대한 함숫값이 일치하면 연속이라고 합니다.

 

이렇게 글로만 적어두면 이해하기 어려우실 수 있으니

간단한 함수 3개를 비교해서 보도록 할게요.

 

 

위 사진을 보면 f(x)는 x=1에서 극한값이 존재하고, 

x=1에서 극한값과 함수값이 동일합니다.

g(x)는 x=1에서 극한값은 존재하지만

x=1에서 극한값과 함수값이 동일하지 않습니다.

h(x)는 x=1에서 극한값이 존재하지 않습니다.

 

그러므로 f(x)만이  x=1에서 "연속"이라고 할 수 있습니다.

 

정리해보자면

x=a에서 연속이라고 한다면 아래 조건을 만족합니다.

 

두 번째로 연속함수에 대해서 알아보겠습니다.

 

연속함수를 표현하기에 앞서

구간이라는 것을 알아야 연속함수를 구간에 대해서

표현할 수 있기 때문에 "구간"부터 알아보도록 할게요.

 

구간이란

 

열린 구간 : { x | a < x < b } = (a, b)

닫힌 구간 : { x | a ≤ x ≤ b } = [a, b]

반열린 구간 : { x | a < x ≤ b } = (a, b]

반닫힌 구간 : { x | a ≤ x < b } = [a, b)

 

이것을 구간이라고 합니다.

 

 

그럼 구간을 알았으니 구간을 통해 연속함수를 정의해보도록 할게요.

 

함수 f(x)가 어떤 열린구간에 속하는 모든 실수 x에서 연속일 때,

f(x)는 그 구간에서 연속이라고 합니다.

또 닫힌구간 [a, b]에서 정의된 함수 f(x)가 열린구간 (a, b)에서 연속이고

일 때, f(x)는 닫힌구간 [a, b]에서 연속이라고 합니다.

 

즉, 닫힌 구간에서 연속이 되려면 (a, b) 열린 구간에서 연속이어야 하며,

x=a에서 우극한의 값과 함숫값이 동일하고,

x=b에서 좌극한의 값과 함숫값이 동일하면 연속입니다.

 

 

 

 

연속함수라는 것은

어떤 구간에서 연속인 함수를 그 구간에서 연속함수라고 합니다.

 

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두 번째, 연속함수의 성질

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첫 번째로 연속함수의 성질에 대해서 알아볼게요.

 

앞에서 연속이란 무엇인지 또 연속함수란 무엇인지에 대해서 배웠는데요.

이번에는 연속함수의 성질에 대해서 배워볼게요.

 

연속함수의 성질은 극한의 개념을 통해 증명이 가능합니다.

 

위 증명을 통해 아래와 같이 정리가 가능합니다.

 

 

두 번째는 최대, 최소 정리입니다.

 

최대, 최소 정리란

함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이면

함수 f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.

라는 것이 최대, 최소 정리입니다.

 

 

 

위와 같이 닫힌구간 [a, b]에서 연속인 함수는

최댓값과 최솟값을 갖고 있죠?

어떠한 구간에서 연속함수라면 모든 함수는

최댓값과 최솟값을 항상 갖고 있다는 것을 알 수 있습니다.

 

세 번째는 사잇값의 정리입니다.

 

사잇값의 정리는 최대, 최소 정리의 연장선상에 있는 개념입니다.

 

 

 

여기서 주의할 점은

f(a)와 f(b) 값이 같지 않아야 된다는 조건을 유의해야 합니다.

 

 

 

 

 

오늘 수학 2 두 번째 이야기 함수의 연속은 여기까지 입니다.

오늘 하루도 다들 고생하셨습니다 ~