[첫 번째 수학이야기] 함수의 극한과 연속 - 함수의 극한

 안녕하세요.

수학 2에서 들려드릴 첫 번째 수학 이야기는 함수의 극한입니다!

 

 먼저 함수의 극한과 연속은 도대체 왜 배우는 걸까?

라는 궁금증을 조금 풀어드리고 시작하는 게 좋을 것 같네요.

당연히 일상생활에서는 이런게 왜 필요한지 잘 못 느끼시죠?

 

 우선 함수의 극한이나 연속을 배우는 이유는

자연현상으로 예를 들면 바람이 불 때

불었다가 안 불었다가 하지는 않죠?

 

그렇기 때문에 실제 어떤 현상들은 연속적이라고 해요.

이런 연속적인 것을 설명하기 위해서는

함수의 연속과 극한이라는 개념이 필요하죠.

나중에 미분과 적분에 기본 원리로 사용이 많이 되니

주의해서 읽어 두시길 부탁드리겠습니다! 

 

 여기까지는 잡담이었고 

본격적인 수학 2의 첫 번째 이야기 시작할게요!

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첫 번째, 함수의 극한

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 먼저 함수의 극한을 정의하기 전에

함수의 수렴을 먼저 알아야 해요.

 

'수렴'이라는 단어의 사전적 정의는

거두는 것, 모으는 것 등을 의미해요.

 

그럼 함수가 수렴한다는 것은

어떠한 값으로 모인다고 생각하시면 돼요.

 위 사진을 참고하시면

"수렴"이라는 것이 무엇인지

알 수 있을 거예요.

 

 아래 사진은 이 수렴을 일반적인 함수에서

어떻게 적용하는지 설명해 두었어요.

 예제를 통해서 수렴과 극한을 한번 더 생각해보고 넘어갈게요.

 

 

간단한 개념이라 한 문제만 풀어보고 넘어갈게요.

 

그럼 이번에는 x의 값이 한없이 커지는 것과

음수이면서 그 절댓값이 한 없이 커질 때

(한없이 작아진다 라고 표현 할게요.)를 생각해 보도록 해요.

 

 

x가 한없이 커진다는 것은 좌측의 상단 부분처럼 표현하고

x가 음수이면서 그 절댓값이 한 없이 커진다는 것은 하단 부분처럼 표현합니다.

 

 

그렇다면 x가 한 없이 커지거나 한 없이 작아질 때,

수렴할 수도 있지만 수렴을 하지 않는 경우가 존재하는데

아래 사진에서 설명해 드릴게요.

 

 이렇게 함수 f(x)의 값이 한없이 커지거나 작아질 때

"발산"한다고 표현을 해요.

함수에 따라서 x가 무한대로 가지 않더라도

발산하는 경우가 있습니다.

 

수렴과 발산에 관한 예제를 풀어보고 넘어가 볼게요. 

 

 

 함수가 수렴하는 경우와 발산하는 경우를 배웠다면

함수의 극한값이 없는 경우도 존재하는데

이러한 경우는 어떤 것인지 알아볼게요.

 

 우선 결론부터 말씀드리자면

x를 a에 가까워질 때 왼쪽에서 가까워지는 값과

오른쪽에서 가까워지는 값이 다른 경우인데요.

 

이것을 좌 극한, 우 극한이라고 불러요.

자세히 무엇인지 사진으로 만나볼게요.

x가 a보다 작으면서 a에 가까워지는 것을 x→a-

x가 a보다 크면서 a에 가까워 지는것을 x→a+

라고 표현해요.

 

그리고 여기서 중요한 것은

x가 a에 가까워진 것이지 x=a가 아니라는 거예요.

 

그래서 위 f(x)의 그래프에서 a의 값이 포함되어 있지 않은

비어있는 원으로 표시되어 있어도

좌 극한과 우 극한의 값은 존재하는 거죠.

 

그럼 극한값을 찾아내는 문제도 한번 살펴보고 갈게요.

 

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두 번째, 함수의 극한값의 계산

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 이제 함수의 극한과 극한값에 대해 제대로 알았으면

여러 가지 함수에 대해서 극한값을 구하고,

그 극한값을 계산할 수 있어야 하겠죠?

 

 그래서 이번에는 극한에 대한 성질을 알아볼 거예요.

 

 

 위의 극한의 성질을 이용해 극한값을 구하고 계산할 거예요.

 

 극한값을 구할 때 유형별로 정리할 수 있어요.

첫 번째 유형

이 경우는 분자나 분모를 인수분해 또는 유리화를 통해

식을 변형하여 문제를 풀어나갈 수 있습니다.

 

두 번째 유형

이 경우는 분자, 분모를 분모의 최고차항으로 나누어

식을 변형하여 문제를 풀어나갈 수 있습니다.

 

위 두 가지 유형에 대한 문제를 준비했으니

문제를 풀면서 이해해봅시다.

 

 

 

세 번째 유형

함수의 극한의 대소관계를 결정하고,

그 관계를 통해 극한값을 구할 수도 있어요.

 

 흔히 샌드위치 정리라고 하는데,

위에서는 h(x)가 f(x)와 g(x)의 가운데에 있어

그렇게 불리기도 한답니다.

 

그럼 이 샌드위치 정리를 이용해

간단한 예제문제를 풀어보고 끝내도록 할게요.

 

 

여기까지 수학 2의 첫 번째 이야기 함수의 극한이었습니다.