[첫 번째 이야기] 수열의 극한 - 수열의 극한

 안녕하세요! 수이남입니다.

오늘은 미적분 첫 번째 이야기 수열의 극한입니다.

 

오늘 이 글이 올라오면

이제 고등학교에서 배우는 모든 수학 과목의

첫 번째 이야기는 다 올라오게 되네요.

앞으로 더 좋은 글 적을 수 있도록 노력할게요.

그럼 시작합니다! 

 

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첫 번째, 수열의 극한

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앞서 수렴과 발산에 대해서는 이미 배웠죠?

혹시 모르니 개념만 간다히 보고 넘어갈게요.

 

수렴이란 어떠한 값으로 모이는 것이고,

발산은 당연히 그 반대로 모이지 않고

한없이 커지거나,

음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지는 경우를 말해요.

 

그럼 이번 단원에서는 

수열이 수렴하는지 발산하는지를 알아보도록 할게요.

 

첫 번째로 수열이 수렴하는 경우예요.

 

위와 같은 수열이 있을 때

각 수열이 수렴하는지 발산하는지를 검토해볼게요.

 

 

 

허접하지만.. 각 수열의 점들을 표현해 봤어요.

그래프를 보시면 아시겠지만

두 수열 모두 0으로 한없이 가까워지고 있다는 것을 알 수 있겠죠?

 

그래서 정리하자면

 

 

그렇다면 어떤 수열이 계속해서 어떠한 한 개의 수로만 이루어져 있으면

 

즉 수열이 수렴한다고 하면

n이 계속해서 커질 때
어떠한 값으로 한없이 가까워져야 한다는 것이다.

 

두 번째는 수열이 발산하는 경우예요.

수열의 수렴과 같이 발산하는 수열도 예를 통해 알아볼게요.

 

 

위와 같은 수열이 있을 때,

수열이 수렴하는지 발산하는지 알아보도록 할게요.

 

 

 

이번에도 허접하지만..

각 수열을 그래프로 옮겨 봤어요.

 

수열 a는 n이 한없이 커질 때

수열의 값도 계속해서 커지는 것이 딱 봐도 알겠죠?

수열 b는 n이 한없이 커질 때

수열의 절댓값이 계속해서 커지는 것이

그래프로 잘 보여지고 있어요.

 

그런데 수열 c는 우리가 알고 있었던

발산의 개념과 조금 다르죠?

계속해서 -1과 1만 왔다 갔다 하죠?

일정한 값에 수렴하지도 않고,

양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는 이것을

"진동한다"라고 표현을 해요.

 

수열의 발산을 정리하자면

 

 

최종적으로 수열의 수렴과 발산을 정리하면

아래와 같다.

 

 

예제 문제를 통해

수열의 수렴과 발산 그리고 진동에 대해서 알아볼게요.

 

 

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두 번째, 수열의 극한값의 계산

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수열의 극한값 또한

함수의 극한값을 계산하듯이 계산하면 됩니다.

그럼 수열의 극한에 대한 성질을 알아볼게요.

 

 

수열의 극한의 대소 관계도

함수의 극한의 대소 관계와 동일하게

샌드위치 정리가 적용이 됩니다.

 

 

그럼 예제로 간단히 알아보고 넘어갈게요.

 

 

 

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세 번째, 등비수열의 극한

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등비수열이라는 것은 다들 알고 계시죠?

공비라는 r이 계속해서 곱해져 나가는 것인데,

이런 등비수열이 수렴하는 조건은 무엇인지

또 발산하는 조건은 무엇인지 알아볼게요.

 

 

쉽게 생각해보면

등비수열은 공비가 계속 곱해지는 것인데

당연히 공비가 1보다 크다면 수는 계속해서 커지겠죠?

단순히 공비가 1.1만 되어 끝도 없이 곱하다 보면

그 수는 무한대에 가까운 수가 되겠죠?

 

그렇다면 -1 < r < 1 이라면 ?

당연히 공비의 절댓값이 1보다 작기 때문에

그 수는 점점 작아지게 됩니다.

 

그럼 r ≤ -1 이라면 어떻게 될까요?

r = -1이면 +1, -1이 계속 진동하는 것은 이전에도 배웠죠?

그럼 -1보다 더 작은 수는 진동도 하지만

그 절댓값은 계속해서 증가하기 때문에 발산한다고 할 수 있어요.

 

조금만 생각해보면 당연한 내용이라

수학적인 증명과정은 적어두지 않았어요.

오히려 내용을 더 어렵게 접근하게 될까 봐

최대한 글로 설명했는데,

가독성이 떨어질 수도 있겠다는 걱정도 드네요..

 

이번에도 위와 같은 유형의 예제를 풀어보고

이번 이야기는 여기까지 할게요.

 

 

이번 이야기는 앞으로 다룰 급수를 대비해

조금 자세히 다루다 보니

생각보다 글이 조금 길어진 것 같기도 하네요..

 

수학을 잘하는 방법은

기본기를 탄탄히 다지는 방법뿐이라고 생각합니다.

별것 아닌 내용일 수 있지만 눈으로라도 한번 더 보는걸

추천드릴게요.