[세 번째 이야기] 미분법 - 여러 가지 함수의 미분(1)

 

안녕하세요. 수이남입니다.

오늘은 미적분의 세 번째 이야기

여러 가지 함수의 미분입니다.

 

다들 아시겠지만

미분과 적분은 굉장히 중요한 단원입니다.

 

충분히 기본기를 익혀 두셔야

나중에 대학에 가서도

수학과 관련된 과목을 배우실 때

무리 없이 배우실 수 있을 겁니다.

 

그럼 시작하겠습니다! 

 

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첫 번째, 지수함수와 로그함수의 극한

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첫 번째, 지수함수의 극한

지수함수와 로그함수는 

서로 역함수 관계인 것은 이제 다들 아시죠?

 

https://mathmen.tistory.com/20

[세 번째 이야기] 지수함수와 로그함수 - 지수함수와 로그함수

위 링크에 들어가시면 지수함수와 로그함수에 대한

자세한 설명이 있으니

지수함수와 로그함수에 대해서 잘 기억이 안나는 분들은

참고하시면 좋을 것 같아요.

 

그럼 이런 지수함수와 로그함수의

극한은 어떻게 구할 수 있을까요?

 

극한값을 구하는 방법이야 동일하니

그래프를 통해 확인해 보시면

 

위와 같이 그려집니다.

그런데 빨간색과 파란색이 동일한 함수인데

왜 그래프는 다르게 그려졌을 까요?

 

네, 맞습니다.

빨간색 그래프는 a>1 인 경우이고,

파란색 그래프는 0<a<1 인 경우입니다.

 

그럼 임의의 실수 t에 대한 극한값은 무엇일까요?

그래프로 확인하시면 그 값은 아래와 같습니다.

즉, 빨간색 그래프든 파란색 그래프든

극한값은 그 점을 대입한 값이 됩니다.

 

그럼 빨간색의 경우, 즉 a>1인 경우에

극한값을 양의 무한대와 음의 무한대로 보낸다면?

위와 같고

 

반대로 파란색의 경우인 0<a<1인 경우에는

아래와 같습니다.

두 번째, 로그함수의 극한

그럼 이번에는 로그함수를 알아보죠.

그래프를 위와 같이 나타낼 수 있고,

위의 경우도 동일하게

빨간색의 경우 a>1이고,

파란색의 경우 0<a<1입니다.

 

그럼 특정한 실수 t에 대해서의 극한값은

위 그래프를 보시면

위와 같이 표현할 수 있죠?

 

그리고 0의 우극한과 양의 무한대로 한없이 가까이 보냈을 때의 값은

빨간색의 경우, 즉 a>1일 때

 

파란색의 경우인 0 <a <1인 경우는

위와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

 

세 번째, 실수 e 란 ?

앞서 지수함수와 로그함수의 극한에 대해

알아보았습니다.

 

이번에는 새로운 수 e에 대해서 알아보겠습니다.

 

e는 알파벳인데 이게 무슨 수냐는 

의문을 가지시는 분들이 있을 수 있는데,

π(파이) 이것 또한 단순한 문자가 아니라

원주율을 나타내는 무한소수 3.14... 이라는 것과

비슷한 개념으로 받아들이시면 될 것 같아요.

 

그럼 e란 몇의 숫자를 갖고 있는 수인지

알아볼게요.

 

e는 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

위와 같이 나타나 있는 수 e는

e=2.718...으로 무리수입니다.

 

e의 정에서 극한의 형태를 꼭 기억해 두세요.

나중에 사용할 곳이 많습니다.

(e는 자연상수라고 불리기도 합니다.)

 

형태를 기억하는 팁중에 하나는

x는 무한대가 되어야 하고 지수는 0에 가까워져야 합니다.

위의 형태를 기억하시기 바랍니다.

 

 

그렇다면 이번에는

실수 e를 밑으로 하는 로그를 살펴볼게요.

log의 밑이 10인 것을 워낙 많이 사용해서

10을 생략하고 적기도 하는데,

이것을 상용로그라고 지칭했었죠?

 

상용로그처럼 실수 e를 밑으로 하는 

로그 또한 워낙 많이 사용되다 보니

자주 사용하기 편한 형태로 바꾸어 사용하는데

이것을 자연로그라고 합니다.

 

자연로그는 아래와 같이 표기합니다.

 

자연상수를 밑으로 하는 지수함수와

자연상수를 밑으로하는 로그함수는

많이 사용되니 역함수의 관계를

이용하면 아래와 같이 표기할 수 있습니다.

 

 

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두 번째, 지수함수와 로그함수의 미분

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앞서 지수함수와 로그함수의 극한값을

구하였으니

지수함수와 로그함수는 어떻게

미분을 하는지 알아야겠죠?

 

첫 번째, 지수함수와 로그함수의 도함수

 

지수함수는 x가 모든 실수인 범위에서 그리고

로그함수는 x가 0보다 큰 실수인 범위에서

연속한 함수라는 것을 그래프만 보아도

충분히 알 수 있죠?

 

그렇다면 지수함수와 로그함수는

연속함수라고 할 수 있고,

함수가 연속하다는 것은

미분이 가능하다는 이야기와 동일합니다.

 

그럼 밑이 e인 지수함수와 로그함수의

미분에 대해서 알아볼게요.

 

첫 번째로 밑이 e인 지수함수의 도함수입니다.

밑이 e인 지수함수의 도함수는

자기 자신입니다.

 

위와 같이 증명할 수 있지만

결과만 알고 계셔도 충분합니다.

 

두 번째로 밑이 e인 로그함수의 도함수입니다.

 

밑이 e인 로그 함수인

자연로그의 도함수는 진수의 역수입니다.

 

이것 또한 위와 같이 증명할 수 있지만

역시 결과만 알고 계셔도 충분합니다.

 

두 번째에 나와있는 로그함수의 미분은

밑이 e인 자연로그로 밑을 변환시켜

미분한다면 위와 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

다음은 삼각함수의 덧셈 정리부터

삼각함수의 미분법까지 같은 단원으로

나와있긴 한데,

내용이 너무 길어질 것 같아

이번 파트는 두 개로 나누어

글을 올리겠습니다.

 

자연로그를 밑으로 하는 지수함수와 로그함수의

미분법을 잘 익혀두시고

관련 문제를 풀어보시기 바랍니다.

 

오늘 여러 가지 함수의 미분(1)은 여기까지 입니다.

 

오늘도 긴 글 읽어주셔서 감사합니다.