[두 번째 이야기] 수열의 극한 - 급수

안녕하세요. 수이남입니다.

오늘은 미적분의 두 번째 이야기

수열의 극한 중 급수입니다.

 

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첫 번째, 급수

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첫 번째, 급수의 수렴과 발산

 

우선 급수가 무엇인지 알아야 급수의 수렴과 발산을

정의할 수 있겠죠?

 

급수란? 

어떤 수열의 각 항을 차례로 더한 것을 급수라고 합니다.

수식으로는 아래와 같이 나타냅니다.

위에 있는 기호는 "시그마"라고 읽습니다.

 

부분합이라는 단어 또한 알아야 하는데,

부분합이란

그리고 급수 중에서 첫째항 부터 제 n항까지의 합을 말합니다.

수식으로는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

급수와 부분합에 대해 배웠으니

급수의 수렴과 발산을 조사할 수 있어야겠죠?

 

위와 같이 급수의 수렴을 정의할 수 있고

위에서 쓰인 S를 급수의 합이라고 말합니다.

 

급수의 합을 기호로 적어보자면

이렇게 나타 낼 수 있습니다.

 

두 번째, 급수의 수렴, 발산과 수열의 극한값의 관계

 

급수 또한 lim기호가 사용이 되다 보니

lim의 성질에 의해 극한값과의 관계가 성립하게 됩니다.

 

먼저 급수의 수렴과 발산의 극한값과 관계를 정리해 보겠습니다.

관계가 두 가지처럼 보이지만

위 두 가지는 서로 대우 관계이므로

한 가지만 확실히 알아두시고

대우 관계를 생각해 내시면 되겠죠?

 

(혹시 대우 관계를 모르시는 분이 계실까 봐

대우관 계란 p -> q 일 때, ~q -> ~p 인 관계를 말합니다.)

 

위 관계를 간단히 증명해보자면 아래와 같습니다.

 

그렇게 복잡한 증명 관계도 아니고

위 식에서 an을 표현하는 방법은 많이 사용되는 방법이니

한 번쯤은 읽어 보시는 것을 추천드릴게요.

 

수열의 극한에 대한 성질을 이용하면

수렴하는 급수에 대한 성질이 나오는데

급수의 성질은 아래와 같습니다.

 

위 급수의 성질은 극한의 성질과 유사한 것을 알 수 있습니다.

극한의 성질과 같이 정리해 두시면 좋을 것 같습니다.

 

 

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두 번째, 등비급수

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첫 번째, 등비급수의 수렴과 발산

 

우선 등비급수라는 것부터 알아야

등비급수의 수렴과 발산을 조사할 수 있겠죠?

 

등비급수란?

첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의

각항의 합으로 이루어진 급수를 말합니다.

 

식으로 보자면

위와 같습니다.

 

그럼 이제 위와 같은 등비급수의 수렴과 발산을

조사할 수 있어야겠죠?

 

결과부터 보자면

등비급수의 수렴과 발산은 두 가지 경우로 나누어집니다.

r의 절댓값이 1보다 크게 되면 

당연히 계속해서 큰 수가 곱해지니깐 

등비급수는 발산한다는 것을 알 수 있겠죠?

 

그럼 r=1인 경우라면 첫째항인 a가 계속해서 더해지므로

이 경우도 당연히 발산합니다.

r=-1인 경우는 등비수열이 진동하므로 발산하겠죠?

 

그럼 수렴하는 경우만 증명과정을 통해 알아보겠습니다.

 

증명과정도 워낙 간단하긴 하지만

등비급수의 합을 극한값의 성질에 의해

위와 같은 결과가 나오는 것을 확인하실 수 있습니다.

 

 

오늘 미적분 두 번째 이야기인 급수는

여기까지 입니다.