[세 번째 수학 이야기] 방정식과 부등식 - 복소수와 이차방정식

 안녕하세요. 수이남입니다.

오늘은 고등수학 세 번째 이야기,

방정식과 부등식에서 복소수와 이차방정식입니다.

 

지금 시작할게요! 

 

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첫 번째, 복소수와 그 연산

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이미 제곱이라는 것에 대한 개념은

다들 충분히 알고 계시죠?

 

그리고 우리는 이때까지

어떤 수를 제곱하면 양수가 나온다고

배웠습니다.

 

근데 여기서 어떤 수라는 것은 실수를 뜻하기 때문에

항상 제곱은 양수로 나타난다고 배웠죠.

 

하지만! 

제곱을 했을 때 음수가 나오는 수를

'오일러'라는 사람이 사용하기 시작했고,

그것을 "복소수"라고 합니다.

 

 

 

그리고 복소수에서는 허수 부분만 부호를 바꾸는 

"켤레 복소수"라는 게 존재하는데,

이 켤레 복소수를 이용하여

복소수의 연산에 좋은 도구가 될 수 있습니다.

 

 

그럼 이 복소수의 사칙연산에 대해서 알아볼게요.

 

복소수의 덧셈과 뺄셈은

실수부와 허수부를 각각 계산해 주면 됩니다.

 

 

복소수의 곱셈은 분배 법칙에 의해 계산을 하면 됩니다.

여기서 i의 제곱은 -1이 된다는 걸 항상 유의하며

계산해 주세요.

 

마지막으로 복소수의 나눗셈입니다.

나눗셈은 분모에 켤레 복소수를 곱하여 계산을 합니다.

그럼 이번에는 음수의 제곱근에 대해서 알아볼게요.

루트 안에 부호가 음수이면

i의 정의에 의해 아래와 같이 됩니다.

 

이 단원에 대해서는 예제문제가

단순히 계산하는 것 밖에 되지 않아서

따로 예제문제를 다루지는 않겠습니다.

 

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두 번째, 이차방정식의 근과 판별식

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위에서 복소수의 개념에 대해 배웠습니다.

그럼 이 복소수를 이차방정식에 대해서 적용을 할 수도 있어야겠죠?

이차방정식은 근이라는 것이 존재하고

그 근은 실수인 근인 실근과 허수인 근인 허근이 존재합니다.

 

그럼 어떤 경우에 실근 또는 허근이 나오는지 

알아보도록 할게요.

 

 

이차방정식의 근은 실근과 허수로 나누어지지만

실근은 서로 다른 두 실근인지, 또는

중근(=서로 같은 두 실근)인지 구분해야 합니다.

 

아래는 판별식을 통해 이차방정식의 근을 판별하는 방법입니다.

 

D를 판별식이라고 하는 이유는

이 식을 통해 이차방정식의 근이

실근인지, 허근인지 판별할 수 있기 때문에

판별식이라고 부릅니다.

 

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세 번째, 이차방정식의 근과 계수의 관계

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우리는 이때까지 이차방정식을 통해 근을 구했습니다.

하지만 이번에는 반대로

근을 이용하여 이차방정식의 계수를 정해 보도록 하겠습니다.

 

우선 근과 계수의 관계에 대한 결론입니다.

 

그럼 어떻게 이런 관계가 되었는지 증명과정을 통해 알아볼게요.

 

이차방정식의 근의 공식을 통해 간단하게 구할 수 있는 결과였습니다.

 

그럼 두 수를 근으로 하는 이차방정식을

쉽고 간단하게 구할 수 있는 방법을 소개하겠습니다.

 

이차방정식의 최고차 항의 계수가 1인 상황에 대해서 알아봤으니

그럼 이차방정식의 계수가 1이 아닌 경우에 대해서도

알아봐야겠죠?

 

오늘 고등수학 세 번째 이야기는 여기까지 입니다.

감사합니다.