[네 번째 수학 이야기] 방정식과 부등식 - 이차방정식과 이차함수

안녕하세요. 수이남입니다.

오늘은 고등수학 이차방정식과 이차함수입니다.

 

고등수학 세 번째 이야기인 복소수와 이차방정식과

연관된 이야기이므로 앞에 이야기를 충분히

이해하신 뒤 오늘의 이야기를 봐주시면 

이해하시는데 더 수월 할 것 같습니다.

 

그럼 시작하겠습니다! 

 

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첫 번째, 이차방정식과 이차함수의 관계

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첫 번째, 이차방정식의 해와 이차함수의 그래프의 관계

 

이차방정식을 y=f(x) 꼴로 나타내면 이차함수가 되는데

이차함수를 그래프로 나타내었을 때,

이차방정식의 해가 그래프에는 어떻게 나타나는지

알아보겠습니다.

 

우선 이차함수는 그래프로 어떻게 나타내는지부터

알아보겠습니다.

 

 

이차함수는 위와 같이 그래프가 그려지고

a가 음수이면 즉, a <0이면

위로 볼록한 그래프를 그려주면 됩니다.

 

그리고 앞서 배웠던 판별식으로 이차방정식의 해(=근)를

구할 수 있고,

이렇게 구한 해와 이차함수의 그래프를 비교해 보겠습니다.

 

판별식이 무엇인지 다들 기억나시죠?

기호로는 D를 사용하며 근의 공식에서

근호 안에 있던 식을 판별식이라고 표현했습니다.

 

위 표를 확인하시면 알 수 있겠지만

이차방정식의 해는 이차함수의 x축과의 교점과 동일합니다.

 

그 이유는 당연히 이차방정식의 해가 x의 값을

구한 것이기 때문에 

f(x)=0을 만족하는 x의 값이므로 x축의 값이겠죠?

 

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두 번째, 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계

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앞서 이차함수의 그래프를 x축과의 교점이

이차방정식의 해와 같다는 결론을 보았습니다.

 

이번에는 x축이 아닌 

어떤 일차함수의 그래프인 직선과의 교점을 비교하여

이차함수의 그래프와 일차함수의 그래프의

관계를 알아볼게요.

 

이번에도 일차함수를 어떻게 그리는지

모르시는 분들이 있을 수 있으니 일차함수가

어떻게 생겼는지부터 알아볼게요.

 

일차함수의 기울기는

x축과의 교점에서 원점까지의 거리와

원점에서 y축과의 교점까지의 거리의 비로 표현하시면

쉽게 일차함수의 기울기를 구할 수 있어서

간단하게 소개하면서 일차함수의 그래프가 어떻게 생겼는지

그려보았습니다.

 

그럼 이제 본론으로

이차함수와 일차함수의 관계를 살펴볼게요.

 

이차함수와 일차함수의 관계를 그래프로 설명하기 전에

이차함수의 식과 일차함수의 식을 먼저 비교해 보겠습니다.

 

판별식도 위의 식에서 사용해 주어야겠죠?

 

그럼 표로 간단하게 알아보겠습니다.

 

 

둘 다 근을 이용하여 관계를 알아보았기 때문에

원리는 동일하여

앞서 x축과의 교점과 결론은 크게 다르지 않습니다.

 

하지만 위에서 주의해야 할 점은

판별식이 어떤 식에서 나왔는지를

정확히 알고 있어야겠죠?

 

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세 번째, 이차함수의 최대, 최소

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이차함수는 포물선의 형태로 그려지기 때문에

최댓값과 최솟값이 존재합니다.

 

범위가 제한되어 있지 않으면

당연히 최솟값은 그래프가 아래로 볼록한

형태에서 나올 것이고,

최댓값은 그래프가 위로 볼록한

형태에서 나오게 될 것이라는 것을

짐작할 수 있겠죠?

 

그럼 그 최댓값과 최솟값은 어디서 가질까요?

네, 당연히 이차함수의 꼭짓점에서 가질 수 있겠죠?

하지만 여기서 중요한 것은 꼭짓점에서 항상

최댓값 또는 최솟값을 갖기 위해서는 

범위가 제한되어 있지 않아야 한다는 점입니다.

 

그럼 먼저 범위가 제한되어 있지 않은

이차함수에 대해서 최댓값과 최솟값을

먼저 알아보겠습니다.

 

위의 결론은 한번 a>0일 때와 a <0일 때의 그래프를 그려서

직접 비교해 보시는 것도 좋을 것 같습니다.

 

그럼 범위가 주어져있을 때는 어떻게 다른지

이번에는 조금 이해하기 어려울 수 있으니

그래프와 함께 이해해보도록 하죠.

 

첫 번째로 꼭짓점이 범위 안에 포함되어 있는 경우입니다.

 

위에서 보이는 것과 같이

꼭짓점이 포함되어 있으면 

최대, 최소는 항상 꼭짓점에서 가진다는 것을

알 수 있습니다.

 

두 번째로 꼭짓점이 범위 안에 포함되어 있지 않은 경우입니다.

 

 

위와 같이 꼭짓점이 포함되어 있지 않으면

어디서 최대, 최소가 되는지 알 수 없으므로

각 범위의 끝 값을 대입하여 값을 구한 후

최대와 최소를 비교해 주어야 합니다.

 

알맞은 부등호를 선택하게 되면

최댓값과 최솟값을 구 할 수 있겠죠?

 

하지만 주의해야 할 점이 있는데,

꼭짓점이 포함되어 있다면 위와 같은 방식처럼

범위의 끝 값을 대입한다고 최솟값이나 최댓값이

나오지 않습니다!

 

이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 때는

가장 먼저 꼭짓점이 범위 안에 있는지 없는지를

파악한 후에 구해주어야 하겠죠? 

 

오늘 고등수학의 네 번째 이야기

이차방정식과 이차함수는 여기까지 입니다.

오늘도 긴 글 읽어 주셔서 감사합니다.

 

 

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