[두 번째 수학 이야기] 다항식 - 나머지정리와 인수분해

 오늘은 첫 번째 수학이야기에 이어 다항식관 관련된 두 번째 수학 이야기, 나머지정리와 인수분해 입니다.

지금 시작할게요.

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첫 번째, 항등식

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 항등식이란 "문자를 포함하는 등식에서 그 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식"을 말하는데,

 역시 이렇게 글로만 보면 이해하시기 어렵겠죠?

 

 

 위와 같은 수식에서 좌, 우변의 식을 분배법칙을 이용해 분배를 해보면

 똑같은 식이 성립됩니다.

 그럼 이 식에는 x에 어떤 값을 넣어도 두 식이 성립하는 것을 알 수 있죠?

 이러한 것을 항등식이라고 해요.

 

 그럼 항등식에서 대표적인 성질 두 가지를 소개할게요.

 

 

 

 

그리고 항등식의 뜻과 성질을 이용하여 미지의 계수를 정하는 방법을 "미정계수법"이라고 하는데,

 역시 이것도 이렇게 말하면 무슨 말인지 모르실 수 있으니

 "미정계수법"에 대한 것은 예제를 통해서 설명해 드릴게요!

 

 

 

 위와 같이 좌변과 우변을 비교하여 미지의 계수, 즉 미지수 a, b, c의 값을 구하는 방법이에요.

 이것과 관련된 연습문제 한문제를 아래에 넣어둘 테니 풀어보세요!

 

 

 

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두 번째, 나머지정리

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 사실 나머지정리는 이미 첫 번째 이야기에서 살짝 배웠던 내용이에요.

 다항식의 나눗셈에서 우리는 몫과 나머지를 구할 수 있었는데

 그 나머지(R)에 관련된 내용이거든요.

 

 그렇다면 나머지정리란 무엇이냐

 

 

 여기서 나누는 식이 일차식이면 나머지는 상수항이 나오게 되고,

 나누는 식이 이차식이면 나머지는 일차식이 나오게 되는데,

 나누는 식의 차수보다 나머지의 차수는 낮아야 한다는 점을 기억해두세요!

(밑에 예제를 통해 보여드릴 예정이니 이해가 안 가신다면 Q4 문제를 풀어 보도록 해요.)

 

 

 

 

 본격적으로 인수분해에 들어가기전에 인수정리와 조립제법에 대해서 알아보도록 할게요.

 먼저 인수란 무엇일까요?

 

인수란 약수와 비슷한 개념으로

 

 18의 인수를 구한다면 18은 1*18로 표현할 수 있고

 인수는 1과 18이라고 말할 수 있습니다.

 하지만 18을 나타내는 방법은 많은데 2*9, 3*6으로도 표현할 수 있겠죠?

 

 그렇다면 인수는 1, 2, 3, 6, 9, 18이라고 말할 수 있지만

 18을 1,2,3,6,9,18로 인수분해 할 수 있다라고는 표현할 수 없어요.

 

 인수분해에 관한 내용은 나중에 다시 다뤄보도록 하고,

 1,2,3,6,9,18은 18의 약수라고 표현할 수 있죠.

(참고로 인수중에 소수인 인수를 소인수라고 해요.)

 

그럼 인수정리란 무엇일까요?

 

 

 

 

 쉽게 말하자면 다항식의 인수를 찾아내는 방법이라고도 말할 수 있을 것 같아요.

 그럼 예제로 다시 살펴보죠.

 

 

 

 

 그럼 이번엔 조립제법에 대해서 알아볼게요.

 조립제법이란 다항식을 일차식으로 나누었을 때

 나머지정리를 이용하여 몫을 구하지 않고 나머지를 구했다면,

 이번에는 계수만 이용하여 몫과 나머지를 구하는 방법이에요.

 

 

 

 좌측은 기존에 구했던 방식인데

 우측에 조립제법을 이용해서 구하면 몫과 나머지를 더 간단하게 구할 수 있습니다.

 조립제법 또한 예제로 다뤄보도록 할게요.

 

 

 

 그럼 이번 단원의 하이라이트인 인수분해를 배워 보도록 할게요

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세 번째, 인수분해

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 위에서 잠깐 인수분해라는 단어를 사용하기는 했지만 설명은 하지 않고 넘어왔었죠?

 인수분해는 여기서 자세히 다뤄보도록 할게요.

 우선 인수분해는 무엇이냐?

 중학교 때도 배웠고 첫 번째 이야기에서도 배웠던 분배법칙을 이용한 곱셈공식을 배웠죠?

 인수분해는 그 분배의 반대 과정을 인수분해라고 합니다.

 아래의 인수분해 공식을 통해 자세히 보도록 할게요.

 

 

 

 

 위에 3가지는 중학교 때도 봤던 공식이죠?

 그리고 위 공식은 많이 나오고 정형화되어 있는 인수분해라서

 공식처럼 적용되어 있는 것이지

 여러 식에 대해서 인수분해를 할 수 있게 연습을 해야해요.

 인수분해는 백 번의 설명 보다

 한 번의 문제풀이가 더 도움이 많이 된다고 생각해서

 여러 개의 문제로 인수분해 연습을 해보도록 할게요.

 

 

 

 여기까지 두 번째 수학 이야기, 나머지정리와 인수분해였습니다.

 

(수정)

예제 문제 답안입니다.