[세 번째 이야기] 지수함수와 로그함수 - 지수함수와 로그함수

안녕하세요. 수이남입니다.

오늘은 수학 1의 세 번째 이야기

지수함수와 로그함수입니다.

 

지수함수 같은 경우는 대학에 가서도

수학과 관련되어 있는 학문이라면

많이 사용되기 때문에

고등학교에서 배울 때

잘 배워두시는 게 좋아요!

 

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첫 번째, 지수함수

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처음으로 지수함수란 무엇인지 알아야겠죠?

 

함수라는 것이 무엇인지는 다들 아실 거라고 생각해요

y=f(x) 꼴로 이루어진 것인데,

f(x)에 지수 형태가 오는 함수를 뜻해요

하지만 지수 형태라고 해서 모두 지수함수는 아니고,

지수에 x가 들어가야만 지수함수라고 합니다.

 

위와 같은 함수를 지수함수라고 합니다.

여기서 a가 1이면 x에 어떤 수가 와도 1이기 때문에

a=1인 경우는 제외를 했습니다.

 

그리고 a <0이면 진동하기 때문에

a>0인 경우만 지수함수의 형태로 다룰 수 있습니다.

 

지수함수가 어떻게 그래프로

표현되는지도 알아보겠습니다.

 

 

일반적으로 지수함수는 위와 같이

그래프로 표현할 수 있습니다.

 

그런데 지수함수에서 밑인 a가 만약에

0 <a <1인 범위라면?

 

지수인 x가 증가할수록 그 수는 점점 줄어들겠죠?

 

그리고 a>0, a≠1인 경우에

지수인 x=0이라면 항상 그 값은 1이겠죠?

 

이러한 것을 정리하면

최종적으로 지수함수의 성질은 아래와 같습니다.

 

점근선이라는 것은

어떠한 그래프가 점차 가까워지는 선을 말하는데,

일반적으로는 x 축이지만 그래프가 평행이동된다면?

그 결과는 평행이동 한 값에 따라 달라지겠죠?

 

만약 y축으로 3만큼 이동한 함수라면

그 점근선 또한 3만큼 이동만 해주면 됩니다.

 

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두 번째, 로그함수

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자 로그가 무엇인지도 이제는 충분히

이해하셨을 거라고 생각합니다.

 

로그의 정의를 잠깐 보자면 위와 같습니다.

 

그럼 앞서 배웠던 지수함수를 로그의 정의로 나타내 보겠습니다.

 

위와 같이 나타낼 수 있겠죠?

여기서도 당연히 a>0, a≠1은 만족해야 합니다.

 

그럼 위 식에서 x, y의 자리를 바꾸게 되면?

바로 지수함수의 역함수를 얻을 수 있겠죠?

위와 같은 함수를

a를 밑으로 하는 "로그함수"라고 합니다.

 

즉 지수함수의 역함수라는 뜻이죠

 

그럼 그래프 또한 지수함수의 역함수이므로

y=x에 대칭되게 그려주면 되겠죠?

그럼 그래프로 다시 한번 보겠습니다.

 

그럼 지수함수와 로그함수의 관계를 이해하셨죠?

 

지수함수에서 a>1일 때는 x의 값이 증가할수록

y의 값이 증가했습니다.

로그함수에서도 a>1일 때는 그래프를 확인해 보시면

x의 값이 증가할수록 y의 값이 증가하는 것을 확인할 수 있죠?

 

그럼 지수함수에서 0 <a <1일 때는 x의 값이 증가할수록

y의 값이 감소하였습니다.

그럼 로그함수에서도 당연히 x의 값이 증가할수록

y의 값은 감소하는 것을 알 수 있습니다.

 

두 그래프를 비교하면서

로그함수의 성질을 살펴보겠습니다.

 

점 (1,0)을 지난다는 것은 함수에 대입해보면 알 수 있지만

지수함수가 (0,1)을 지나는 것은 확실히 보았으니

지수함수의 역함수 이므로 (0,1)을 x, y의 위치를 바꿔주면

알 수 있겠죠? 

지수함수에서 점근선은 x 축이었지만,

로그함수는 지수함수의 역함수이니

점근선이 y축이 된다는 것을 역함수의 관계로도 쉽게 알 수 있습니다.

 

그럼 지수함수와 로그함수를 비교해보면서

다음으로 넘어갈게요.

 

	지수함수	로그함수
a>0	x의 값이 증가하면 y의 값 증가	x의 값이 증가하면 y의 값 증가
0<a<1	x의 값이 증가하면 y의 값 감소	x의 값이 증가하면 y의 값 감소
정의역	실수 전체	양의 실수 전체
치역	양의 실수 전체	실수 전체
지나는 점	(0,1)	(1,0)
점근선	x축	y축

위 표에서 그래프의 형태는 직접 그려가면서

비교해보시면 좋을 것 같아요.

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세 번째, 지수함수와 로그함수의 활용

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이제 지수함수와 로그함수를 배웠으니

문제를 풀 때 적용할 수 있어야겠죠?

 

첫 번째, 지수함수의 활용

 

우선 지수함수는 아래와 같은 성질을 이용하여

문제를 해결할 수 있습니다.

위와 같은 경우는 두 함수가 동일하므로

x1과 x2의 값이 동일하다는 것을 

쉽게 알 수 있습니다.

 

하지만 두 함수가 동일하지 않고

대소 관계를 갖는다면?

 

그러한 경우에는 a>1일 때와

0 <a <1일 때의 경우가 다른데

그래프로 비교해 보시면 직관적으로

이해하실 수 있습니다.

 

위의 그래프를 토대로

아래와 같이 정리할 수 있습니다.

 

두 번째, 로그함수의 활용

 

로그함수는 아래와 같은 성질을 이용하여

문제를 해결할 수 있습니다.

x1>0, x2>0의 조건이 추가된 이유는

로그의 정의에서 진수의 조건이 추가된 것입니다.

 

그럼 로그함수 또한 a>1 때와

0 <a <1일 때의 경우가 다른 것을 예측할 수 있겠죠?

 

위 그래프를 토대로

아래와 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계인 것을

잊지 마시고 항상 함께 정리하며

학습한다면 

지수함수 한 가지만 제대로 이해하셨다면

로그함수는 역함수 관계를 이용해

쉽게 이해하실 수 있을 거라 생각됩니다.

 

두 번째 이야기에서 다루었던 로그의 정의에 대해서

다시 한번 익히신 후에

이 글을 보시면 더욱더 이해하시기 편할 것 같아요.

 

오늘 수학 1의 세 번째 이야기 지수함수와 로그함수는

여기까지입니다.

 

오늘도 긴 글 읽어주셔서 감사합니다.