[다섯 번째 이야기] 삼각함수 - 삼각함수(2)

 

안녕하세요. 수이남입니다.

 

오늘은 어제 못다 한 

삼각함수 이야기를 마무리지어 보겠습니다.

 

삼각함수는 미분과 적분 파트에서도

많이 등장하는 함수 중 하나이니

지금 잘 배워두셔야 나중에

미분과 적분에서도

어려움 없이 배울 수 있습니다.

 

또한 대학에 진학해서도 많이 사용되는 함수 중 하나이니

한번 배울 때 잘 배우셔서 오랫동안 기억에

남을 수 있게 해 두시면 나중에

큰 도움이 될 거라 생각합니다.

 

그럼 시작하겠습니다! 

 

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두 번째, 삼각함수

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지난 이야기에서 각도에 관한 이야기를 했습니다.

 

간단하게 설명하자면

각도는 육십분법과 호도법에 의해

표현되는데,

 

육십분법은 원을 360 등분하여

우리가 흔히 아는 도(º)로 표현한 것이고,

호도법은 반지름의 길이와 같은 호의 길이의

각을 1 radian이라고 정의하여 radian으로 표현했습니다.

 

그리고 이번에는 삼각함수에 대해서 배워보겠습니다.

 

첫 번째, 삼각함수

 

먼저 삼각함수란 어떤 것인지 알아야겠죠?

아마 한 번쯤은 들어 보셨을 거라고 생각합니다.

 

삼각함수의 종류에는

사인 함수, 코사인 함수, 탄젠트 함수가 있습니다.

 

그럼 각각 무엇을 의미하는 함수인지

아래 그림을 통해 알아보겠습니다.

 

반지름이 r인 원이 있을 때,

시초선을 원점 O에서 x축의 양의 방향으로 잡았을 때,

동경 OP가 나타내는 각을 Θ라고 합니다.

그리고 P는 동경과 원의 교점입니다.

 

그렇다면 동경이 움직이면서 즉, Θ의 값에 따라

y/r, x/r, y/x의 값이 정해지게 되는데

이 것을 삼각함수라고 합니다.

 

그럼 sine, cosine, tagent 가 각각 어떤 함수 인지도

알아야겠죠?

 

함숫값이 Θ에 의해 변하므로

변수는 Θ가 됩니다.

sine 함수는 sin Θ라고 쓰고,  sin Θ = y/r

cosine 함수는 cos Θ라고 쓰고, cos Θ = x/r

tangent 함수는 tan Θ라고 쓰고, tan Θ = y/x입니다.

 

다시 한번 보기 좋게 정리하자면 아래와 같습니다.

 

참고로 r은 0이 될 수 없다는 조건이

따로 붙어있지 않은 이유는

반지름이 r인 원이 있다고 가정했기 때문에

r은 이미 정의에서 0이 될 수 없다고

명시되어 있는 것이나 마찬가지입니다.

 

두 번째, 삼각함수의 부호

 

많은 학생들이 앞글자만 따서 많이들

외우시는 부분인데,

삼각함수의 부호라고 해서

별 다른 내용은 아닙니다.

 

삼각함수의 정의만 정확하게 알고 계신다면

삼각함수에서 부호를 혼동하실 일은

없으리라 생각합니다.

 

즉, 굳이 외우지 마시고, 정의를 이용해서

정확하게 부호를 판단하는 것이

올바른 방법이라고 생각됩니다! 

 

sin 함수의 정의는 sin Θ = y/r이었습니다.

여기서 r은 반지름이라고 정의를 했습니다.

그렇다면 r은 반지름이니깐 음수가 될 수 없겠죠?

그럼 sin함수는 y의 부호에 의해서 결정됩니다.

 

cos 함수 또한 마찬가지입니다.

cos Θ = x/r 이므로, 

cos함수는 x의 부호에 의해서 결정됩니다.

 

마찬가지로 tan 함수도 살펴본다면

tan Θ = y/x 이므로,

x, y가 같은 부호이면 양수이고,

x, y가 다른 부호이면 음수가 됩니다.

 

정리해 보자면 아래와 같습니다.

 

sin Θ = y/r  → y>0 이면 양수, y <0이면 음수

cos Θ = x/r → x>0 이면 양수, x <0이면 음수

tan Θ = y/x → x, y가 같은 부호이면 양수, x,y가 다른 부호이면 음수

 

사분면에 표현하자면 아래와 같습니다.

 

흔히들 올싸탄코 이렇게 외우시던데..

이 글을 보신 분들은 외우시지 마시고

위의 정의를 생각하셔서

정확하게 부호를 판단하는 연습을 하시면

나중에 큰 도움이 될 겁니다.

 

 

세 번째, 삼각함수의 관계

 

삼각함수에서 중요한 정리가 있습니다.

 

삼각함수의 정의를 잘 살펴보시면

sin은 y에 대해서, cos은 x에 대해서

값이 결정되는 것을 알 수 있습니다.

 

그런데 tan는 x와 y에 모두 관계가 되어있는 게 보이시죠?

 

그래서 sin과 cos을 이용해서

아래와 같이

tan를 표현할 수도 있습니다.

 

 

사인 함수와 코사인 함수를 나누어주면

탄젠트 함수가 나온다는 것을

확인할 수 있습니다.

 

그리고 한 가지 정리가 더 있는데,

이것은 단위원

즉, 반지름이 1인 원에 대해서

원의 방정식과 삼각함수를 결합하는 것입니다.

 

이렇게 코사인과 사인을 각각 제곱해서

더하면 1이 된다는 것을 얻을 수 있습니다.

 

정리해 보자면

아래와 같습니다.

이 두 가지 정리는 정말 자주 사용되는 정리이니

어떻게 이런 식이 나오는지

정확히 이해하시면 좋을 것 같습니다.

 

 

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세 번째, 삼각함수의 그래프

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우리가 함수를 배우면서

그 함수가 어떤 함수인지 알았으면

그래프로도 표현을 해보았죠?

 

삼각함수 또한 어떤 함수인지 알았으니,

이번에는 그래프로 표현해 보도록 하겠습니다.

 

첫 번째, 사인 함수의 그래프

 

그래프는 반지름이 1인 단위원을 기준으로

그립니다.

 

그럼 sin 함수는 반지름이 1이라면

sin Θ = y로 표현할 수 있죠?

 

그럼 원을 한 바퀴 돌 때 y의 값이

어떤 값을 가지는지 점으로 표현해보니

아래와 같은 그래프를 그렸습니다.

 

두 번째, 코사인 함수의 그래프

 

마찬가지로 cos Θ = x로 표현할 수 있고,

원을 한 바퀴 돌 때 x의 값이 어떻게 변하는지

그래프에 점으로 표현해보니

아래와 같았습니다.

 

탄젠트 함수는 나중에 보시면 알겠지만

사인 함수와 코사인 함수와 조금 다르기 때문에

사인함수와 코사인 함수에 대해서 먼저 정리해 보자면

 

두 그래프 모두 정의역은 실수 전체의 집합이고,

치역은 -1부터 1 사이의 실수라고 알 수 있습니다.

 

그리고 또 하나 중요한 성질이 있는데,

그래프를 보시면 두 함수 모두

일정한 모양이 계속해서 나오는 것을 볼 수 있습니다.

 

이러한 함수는 주기를 가졌다고 하는데,

주기를 갖고 있는 모든 함수를 주기 함수라고 합니다.

 

주기 함수를 수학적으로 정의하자면

f(x+t)=f(x)라고 합니다.

즉, 주기를 t라고 했을 때,

f(x)의 값이 t만큼 평행 이동한 곳에서도

같은 함숫값을 갖는다는 것입니다.

 

그리고 사인 함수와 코사인 함수는 주기가 2π인 주기 함수입니다.

 

최종적으로 정리해 보자면 아래와 같습니다.

 

함수 y = sin x, y = cos x의 성질

첫 번째, 정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 -1 ≤ y ≤ 1입니다.

 

두 번째, y=sin x의 그래프는 원점에 대하여 대칭이고,

y=cos x는 y축에 대해 대칭입니다.

즉, sin(-x)=-sin x이고, cos(-x)=cos x입니다.

 

세 번째, 주기가 2π인 주기 함수입니다.

즉, sin (2nπ+x) = sin x, cos (2nπ+x) = cos x입니다.

(단, n은 정수)

 

참고로 두 함수는 π/2만큼 평행이동한다면

겹치는 것을 그래프를 통해

확인할 수 있습니다.

 

세 번째, 탄젠트 함수의 그래프

 

이번에는 탄젠트 함수의 그래프를 그려보겠습니다.

 

사인 함수와 코사인 함수는 단위원에서 r=1이므로,

x, y에만 관계되어 있는 반면에

탄젠트 함수는 단위원에서도 

x와 y에 모두 관계되어 있어

그래프가 위의 두 가지 경우가 조금은

다르게 나옵니다.

 

어쨌든 탄젠트 함수도 사인 함수와 코사인 함수처럼

단위원을 한 바퀴 돌았을 때 값이 어떻게

변하는지를 그래프로 나타낸 것이기에

같은 원리로 그래프가 그려집니다.

 

tan Θ = y/x 이므로

단위원을 한 바퀴 돌 때 아래와 같이 그래프가 나타납니다.

 

 

Θ가 y축과 맞물리게 되면

x값이 0이 되므로 y/x는 존재하지 않기 때문에

Θ=nπ+π/2 일 때, tan Θ값이 정의되지 않습니다.

 

즉, Θ=nπ+π/2는 tan함수에서 점근선을 뜻합니다.

 

그리고 tan함수 또한

π간격으로 동일한 함수의 모양이 나타나는 것을 보아

주기 함수라고 할 수 있고,

주기는 π가 됩니다.

즉, tan (x+nπ)=tna x가 성립합니다.

 

함수 y=tan x의 성질은 아래와 같습니다.

첫 번째, 정의역은 nπ+π/2가 아닌 실수 전체의 집합이고,

치역은 실수 전체의 집합입니다.(단, n은 정수)

 

두 번째, 그래프의 점근선은 직선 x=nπ+π/2

(단, n은 정수)

 

세 번째, 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

즉, tan (-x) = -tan x

 

네 번째, 주기가 π인 주기 함수이다.

즉, tan (nπ+x)=tan x

(단, n은 정수)

 

네 번째, 삼각함수의 성질

 

삼각함수에는 또 다른

중요한 성질이 있습니다.

 

앞서 설명했던 두 가지 성질도 

굉장히 중요하다고 말씀드렸지만

 

이번에 설명드릴 성질 또한

굉장히 중요한 성질이니

완전히 이해하시면 좋겠습니다.

 

y = sin x를 -π만큼 평행 이동하면 

y= sin (x+π) = -sin x 가 된다는 것을 알 수 있고,

 

y = cos x를 -π만큼 평행 이동하면

y= cos (x+π) = -cos x가 된다는 것을 

그래프를 통해 확인할 수 있습니다.

 

y= tan x의 주기는 π이므로 

-π만큼 평행이동해도 

y = tan (x+π) = tan x인 것을 알 수 있습니다.

 

위의 세 가지 평행이동 식에 대해

x대신에 -x를 대입한다면

y= sin (-x+π) = -sin (-x) = sin x

y= cos (-x+π) = -cos (-x) = -cos x

y = tan (-x+π) = tan (-x) = -tan x

가 된다는 것을 위의 성질을 통해 알 수 있습니다.

 

최종적으로 정리해 보자면 아래와 같습니다.

 

오늘 배운 삼각함수는 굉장히 중요한 단원이니

꼭 제대로 이해하시고 넘어가시면 좋겠습니다.

 

오늘도 찾아와 주셔서 감사합니다.